ЧИ ПІФАГОРОВА ТЕОРЕМА ПІФАГОРА?
Можливо ця легенда не містить під собою історичної основи: "Коли грецький математик Піфагор уперше довів теорему, яка тепер носить його ім'я, він на радощах приніс у жертву богам сто биків (звершив гекатомбу, тобто велике жертвопринесення). З тієї пори вся скотина дрижить, почувши про відкриття нової істини".
Теорема Піфагора - найважливіше твердження геометрії. У підручнику з геометрії для 8-го класу вона формулюється таким чином: Теорема 7.2 (теорема Піфагора). У прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів.
Зрозуміло, що далі йде доведення й із теореми випливають деякі важливі наслідки. Проте, чи завжди було саме так і чи не дарма цю теорему названо ім'ям давньогрецького вченого, що жив у шостому столітті до н.е.?
Так, дійсно, вивчення вавилонських клинописних таблиць і стародавніх китайських рукописів (копій ще більш давніх манускриптів) показало, що це твердження було відоме задовго до Піфагора, можливо, у Вавилоні знали це твердження й користувались цими знаннями ще за тисячу років до народження Піфагора.
Проте в ті часи (зрозуміло, у перекладі на нашу мову) ця теорема звучала (формулювалась) таким чином: площа квадрата, побудованого на гіпотенузі прямокутного трикутника, дорівнює сумі площ квадратів, побудованих на його катетах.
Давайте зараз разом із вами розберемо історію створення теореми названої потім ім'ям видатного давньогрецького математика Піфагора:
подивіться на паркет, зображений на малюнку 1. На ньому видно маленькі квадрати, які складаються із двох трикутників, і великі, косо розміщені квадрати, які складаються із чотирьох трикутників. Зрозуміло, що площа більших квадратів удвічі більша за площу маленьких квадратів. Саме тому для них виконується рівність S=S1+S2, іншими словами, для рівнобедрених прямокутних трикутників площа квадрата, побудованого на гіпотенузі, дорівнює сумі площ квадратів, побудованих на катетах.
Так як цей "паркет" - один із найпростіших, не потрібно дивуватись, що про щойно сказане знали вже дуже давно. Але хтось із вавилонських математиків побачив, що в цьому формулюванні є зайве слово, яке ми підкреслили: "рівнобедрених". Зовсім воно не потрібне, тому що для довільного прямокутного трикутника площа квадрата, побудованого на гіпотенузі, дорівнює сумі площ квадратів, побудованих на катетах.
Звісно, про те, як він здогадався зробити це узагальнення ніяких відомостей не збереглося. Мабуть, після цього він скликав усіх, хто займався математикою, і розповів їм про це своє видатне відкриття. Чи не про цю подію розповідається в одній із глиняних табличок, яка збереглася з тих пір, як про перший міжнародний з'їзд математиків?
У табличках, які збереглись до наших часів, є лише самі задачі, проте нема жодного висновку чи доведення. Багато чого запозичили з Вавилона інші східні країни, у їх числі Індія. Так, в одному зі стародавніх Індійських рукописів збереглося креслення (малюнки 2 і 3 ),
подивившись на яке, можна одразу переконатись в істинності теореми Піфагора (чи імені невідомого вавилонського математика). Проте й індійці, навівши це креслення, більше ніяких пояснень не писали, крім одного слова "ДИВИСЬ". До речі, прийнята зараз назва математичних тверджень, які потребують доведень, - "теорема" походить від грецького слова ''теорео", що означає "розглядаю" (від нього слова походить і інше слово - "театр").
Для тих, хто не розібрався з "доведенням по староіндійські" пораджу порівняти площі заштрихованих фігур на лівому й правому малюнках. І там і там вони складаються з однакових трикутників, яких на малюнках чотири. Хоча самі заштриховані фігури різні, їх площі - однакові. Але тоді однакові й площі незаштрихованих фігур. Зліва - це два квадрати, побудовані на катетах, а справа - квадрат, побудований на гіпотенузі. Ось так, мабуть, міркували математики при доведенні теореми Піфагора (який ще не народився).
Проте, на протязі кількох тисяч років (якщо точніше - то двох) застосовували не це доведення, яке можна доводити наочно, а більш складне доведення, яке винайшов Евклід (сучасник царя Птоломея І, який царював з 306 по 283 р. до н.е.), і яке помістив у свою знамениту книгу "Початки" (за якою на протязі двох тисяч років вивчали геометрію), Евклід опустив висоту ВН з вершини прямого кута на гіпотенузу і доводив, що її продовження ділить побудований на гіпотенузі квадрат на два прямокутники, площі яких дорівнюють площам відповідних квадратів, побудованих на катетах. Це ви можете побачити на малюнку 4.
Креслення, яке застосовують при доведенні теореми Піфагора способом Евкліда, у школярів прийнято називати "Піфагорові штани", пам'ятаєте: "Піфагорові штани на всі боки рівні". На протязі довгого часу це креслення вважалось одним із символів математичної науки.
В наш час відомо декілька десятків доведень теореми Піфагора.
Одні з них ґрунтуються на розбитті квадратів, при якому квадрат, побудований на гіпотенузі, складається із частин, що входять у розбиття квадратів, побудованих на катетах; другі - на доповненні до рівних фігур; треті - на тому факті, що висота, проведена з вершини прямого кута на гіпотенузу, ділить прямокутний трикутник на два подібних до нього трикутники.
Теорема Піфагора - це основа багатьох геометричних розрахунків. Спираючись на неї можна вивести й формулу, яка виражає площу довільного трикутника через довжини його сторін (ця формула вже виведена, до речі, також у стародавній Греції й носить ім'я Герона Олександрійського, який жив у 1-у ст. н.е.). Зрозуміло, теорему Піфагора використовували й для розв'язання різноманітних практичних задач.
Ну, а що ж Піфагор? Невже Його слава не заслужена? Мабуть, це не так. Він перший, хто зміг довести цю теорему, спираючись не на малюнок, а на міркування. Теорема Піфагора була першим твердженням, яке пов'язувало довжини сторін трикутників. Уже потім винайшли як знаходити довжини сторін і кути гострокутних і тупокутних трикутників. Виникла ціла наука: тригонометрія ("тригон" - по грецькі означав "трикутник"). З її допомогою можна було, вимріявши одну сторону й два кути трикутника, знайти довжини решти його сторін. Ця наука знайшла застосування в землевимірюванні. Проте, задовго до нього з її допомогою навчались вимірювати уявні трикутники на небі, вершинами яких були зорі. Зараз тригонометрію застосовують навіть для вимірювання відстаней між космічними кораблями.
Отже, почнемо спочатку: "У прямокутному трикутнику..."
Завдання:
Можливо ця легенда не містить під собою історичної основи: "Коли грецький математик Піфагор уперше довів теорему, яка тепер носить його ім'я, він на радощах приніс у жертву богам сто биків (звершив гекатомбу, тобто велике жертвопринесення). З тієї пори вся скотина дрижить, почувши про відкриття нової істини".
Теорема Піфагора - найважливіше твердження геометрії. У підручнику з геометрії для 8-го класу вона формулюється таким чином: Теорема 7.2 (теорема Піфагора). У прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів.
Зрозуміло, що далі йде доведення й із теореми випливають деякі важливі наслідки. Проте, чи завжди було саме так і чи не дарма цю теорему названо ім'ям давньогрецького вченого, що жив у шостому столітті до н.е.?
Так, дійсно, вивчення вавилонських клинописних таблиць і стародавніх китайських рукописів (копій ще більш давніх манускриптів) показало, що це твердження було відоме задовго до Піфагора, можливо, у Вавилоні знали це твердження й користувались цими знаннями ще за тисячу років до народження Піфагора.
Проте в ті часи (зрозуміло, у перекладі на нашу мову) ця теорема звучала (формулювалась) таким чином: площа квадрата, побудованого на гіпотенузі прямокутного трикутника, дорівнює сумі площ квадратів, побудованих на його катетах.
Давайте зараз разом із вами розберемо історію створення теореми названої потім ім'ям видатного давньогрецького математика Піфагора:
 |
| малюнок 1 |
Так як цей "паркет" - один із найпростіших, не потрібно дивуватись, що про щойно сказане знали вже дуже давно. Але хтось із вавилонських математиків побачив, що в цьому формулюванні є зайве слово, яке ми підкреслили: "рівнобедрених". Зовсім воно не потрібне, тому що для довільного прямокутного трикутника площа квадрата, побудованого на гіпотенузі, дорівнює сумі площ квадратів, побудованих на катетах.
Звісно, про те, як він здогадався зробити це узагальнення ніяких відомостей не збереглося. Мабуть, після цього він скликав усіх, хто займався математикою, і розповів їм про це своє видатне відкриття. Чи не про цю подію розповідається в одній із глиняних табличок, яка збереглася з тих пір, як про перший міжнародний з'їзд математиків?
У табличках, які збереглись до наших часів, є лише самі задачі, проте нема жодного висновку чи доведення. Багато чого запозичили з Вавилона інші східні країни, у їх числі Індія. Так, в одному зі стародавніх Індійських рукописів збереглося креслення (малюнки 2 і 3 ),
 |
| малюнок 2 |
 |
| малюнок 3 |
подивившись на яке, можна одразу переконатись в істинності теореми Піфагора (чи імені невідомого вавилонського математика). Проте й індійці, навівши це креслення, більше ніяких пояснень не писали, крім одного слова "ДИВИСЬ". До речі, прийнята зараз назва математичних тверджень, які потребують доведень, - "теорема" походить від грецького слова ''теорео", що означає "розглядаю" (від нього слова походить і інше слово - "театр").
Для тих, хто не розібрався з "доведенням по староіндійські" пораджу порівняти площі заштрихованих фігур на лівому й правому малюнках. І там і там вони складаються з однакових трикутників, яких на малюнках чотири. Хоча самі заштриховані фігури різні, їх площі - однакові. Але тоді однакові й площі незаштрихованих фігур. Зліва - це два квадрати, побудовані на катетах, а справа - квадрат, побудований на гіпотенузі. Ось так, мабуть, міркували математики при доведенні теореми Піфагора (який ще не народився).
Проте, на протязі кількох тисяч років (якщо точніше - то двох) застосовували не це доведення, яке можна доводити наочно, а більш складне доведення, яке винайшов Евклід (сучасник царя Птоломея І, який царював з 306 по 283 р. до н.е.), і яке помістив у свою знамениту книгу "Початки" (за якою на протязі двох тисяч років вивчали геометрію), Евклід опустив висоту ВН з вершини прямого кута на гіпотенузу і доводив, що її продовження ділить побудований на гіпотенузі квадрат на два прямокутники, площі яких дорівнюють площам відповідних квадратів, побудованих на катетах. Це ви можете побачити на малюнку 4.
 |
| малюнок 4 |
Креслення, яке застосовують при доведенні теореми Піфагора способом Евкліда, у школярів прийнято називати "Піфагорові штани", пам'ятаєте: "Піфагорові штани на всі боки рівні". На протязі довгого часу це креслення вважалось одним із символів математичної науки.
В наш час відомо декілька десятків доведень теореми Піфагора.
Одні з них ґрунтуються на розбитті квадратів, при якому квадрат, побудований на гіпотенузі, складається із частин, що входять у розбиття квадратів, побудованих на катетах; другі - на доповненні до рівних фігур; треті - на тому факті, що висота, проведена з вершини прямого кута на гіпотенузу, ділить прямокутний трикутник на два подібних до нього трикутники.
Теорема Піфагора - це основа багатьох геометричних розрахунків. Спираючись на неї можна вивести й формулу, яка виражає площу довільного трикутника через довжини його сторін (ця формула вже виведена, до речі, також у стародавній Греції й носить ім'я Герона Олександрійського, який жив у 1-у ст. н.е.). Зрозуміло, теорему Піфагора використовували й для розв'язання різноманітних практичних задач.
Ну, а що ж Піфагор? Невже Його слава не заслужена? Мабуть, це не так. Він перший, хто зміг довести цю теорему, спираючись не на малюнок, а на міркування. Теорема Піфагора була першим твердженням, яке пов'язувало довжини сторін трикутників. Уже потім винайшли як знаходити довжини сторін і кути гострокутних і тупокутних трикутників. Виникла ціла наука: тригонометрія ("тригон" - по грецькі означав "трикутник"). З її допомогою можна було, вимріявши одну сторону й два кути трикутника, знайти довжини решти його сторін. Ця наука знайшла застосування в землевимірюванні. Проте, задовго до нього з її допомогою навчались вимірювати уявні трикутники на небі, вершинами яких були зорі. Зараз тригонометрію застосовують навіть для вимірювання відстаней між космічними кораблями.
Отже, почнемо спочатку: "У прямокутному трикутнику..."
Завдання:
- "Якщо взято мотузку довжиною 12 ліктів і зав'язано на ній вузли, які розбивають її на 12 рівних частин, то за її допомогою можна побудувати прямий кут...",- так писали ще в манускриптах стародавнього Єгипту. А як саме за допомогою цієї мотузки знайти прямий кут?
- Знайдіть ще декілька прямокутних трикутників, у яких сторони виражаються цілими числами.
- Чому похила завжди більша за перпендикуляр?
- Спробуйте довести теорему Піфагора за Евклідом. Яке доведення краще - старовинне чи сучасне?
Немає коментарів:
Дописати коментар